Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Weyl, Hermann, 1885-1955.
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    aus als das prius betrachtet werden, als der Mutterboden, auf dem die Funktionen allererst wachsen und g-edeihen können. Es ist freilich zu- zugeben, daß Riemann selbst dies wahre Verhältnis der Funktionen zur Riemannschen Fläche durch die Form seiner Darstellung etwas verschleiert hat — vielleicht nur, weil er seinen Zeitgenossen allzu fremdartige Vor- stellungen nicht zumuten wollte; dies Verhältnis auch dadurch verschleiert hat, daß er nur von jenen mehrblättrigen, mit einzelnen Windungspunkten über der Ebene sich ausbreitenden Uberlagerungsflächen spricht, an welche man noch heute in erster Linie denkt, wenn von Riemannschen Flächen die Rede ist, und sich nicht der (erst später von Klein zu durchsichtiger Klarheit entwickelten) allgemeineren Vorstellung bediente, als deren Cha- rakteristikum man dieses nennen kann: daß in ihr die Beziehung zu der Ebene einer unabhängigen komplexen Veränderlichen, sowie überhaupt die Beziehung zum dreidimensionalen Punktraum grundsätzlich gelöst ist. Und doch ist darüber kein Zweifel möglich, daß erst in der Kleinschen Auf- fassung die Grundgedanken Riemanns in ihrer natürlichen Einfachheit, ihrer lebendigen und durchschlagenden Kraft voll zur Geltung kommen. Auf dieser Überzeugung basiert die vorliegende Schrift. Im einzelnen gliedert sich ihr Inhalt in folgender Weise. Im 1. Kapitel handelt es sich um dreierlei: 1. eine genaue Auseinandersetzung des Verhältnisses der Weierstraß- schen Begriffe „analytische Fimltion und „analytisches Gebilde^' zu der Idee der Riemannschen Fläche (§§ 1—7); 2. eine strenge Fixierung des Begriffes der Fläche überhaupt und insbesondere der RiemannscJien Fläche (§§ 4—7); 3. eine exakte Begründung derjenigen Analysis-situs-Sätze, die zum Aufbau der Riemannschen Funktionentheorie unbedingt von Nöten sind (§§8—11). In diesen topologischen Betrachtungen spielt der für die Üniformisierungstheorie so wichtige Begriff der Überlageriingsfläche eine weit größere Rolle (und, wie ich glaube, mit Recht), als ihm sonst zu- gewiesen wird. Den Gegenstand von Kapitel II bildet vor allem das Grundproblem der Riemannschen Funktionentheorie: zu einer vorgegebenen Riemann- schen Fläche die zugehörigen Funktionen zu finden, insbesondere für den Fall der geschlossenen Riemannschen Fläche. Die Existenzbeweise werden hier auf dem von Riemann selbst in Aussicht genommenen Wege mit Hilfe des sog. Dirichletschen Prinzips erbracht (§§ 12—15). Die Gang- barkeit dieses W^eges hat bekanntlich Hilbert gezeigt, indem er das früher für evident gehaltene, aber dann von W^eierstraß angefochtene Dirich- letsche Minimalprinzip durch einen zuverlässigen Beweis stützte. Durch Berücksichtigung der an Hilbert anknüpfenden Arbeiten anderer Autoren und einen bisher unveröffentlichten, vom Verfasser herrührenden, gegen- über Riemann und Hilbert wesentlich vereinfachten Ansatz ist es ge- lungen, dieser Beweisführung eine so durchsichtige Gestalt zu verleihen, daß sie auch hinsichtlicli ihrer Einfachheit der bisher allein in Lehr- büchern zur Darstellung gekommenen, von Schwarz und C. Neumann ersonnenen Methode des alternierenden Verfahrens ebenbürtig, wenn nicht