Die Idee der Riemannschen Fläche.

  • Weyl, Hermann, 1885-1955.
Date:
1913
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Credit: Die Idee der Riemannschen Fläche. Source: Wellcome Collection.

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    überleg-en ist. Ihre große Tragweite bewährt sie dadurch, daß sie ohne Modifikation auf ungeschlossene Riemannsche Flächen übertragen werden kann; ein Umstand, welcher vor allem der Uniformisierungs- theorie zu gute kommt. Die §§ 16—18 bringen dann einen Abriß der an die Existenztheoreme sich anschließenden systematischen Theorie der Funktionen auf einer geschlossenen Biemannschen Fläche, geben aber nur so viel von dieser Theorie, als nötig ist, um die funktionentheore- tische Fruchtbarkeit der Riemannschen Grundidee deutlich zu machen und die beherrschende Rolle aufzuzeigen, welche die der Analysis situs entstammende Geschlechtszahl im Reiche der Funktionen spielt. Ich habe dabei, entgegen dem Brauch, an der aus dem Beweis der Existenzsätze ursprünglich sich ergebenden Normierung der Abelschen Integrale fest- gehalten, bei der Real- und Imaginärteil voneinander getrennt werden müssen, da diese Normierung den Vorteil hat, von jeder Zerschneidung der Riemannschen Fläche unabhängig zu sein. Die letzten Abschnitte end- lich (§§ 19—21) sind der von Klein und Poincare in kühnem Riß ent- worfenen, von Koebe in jüngster Zeit auf ein breites Fundament gestellten Theorie der Uniform isierung gewidmet. Wir betreten damit den Tempel, in welchem die Gottheit (wenn ich dieses Bildes mich bedienen darf) aus der irdischen Haft ihrer Einzel Verwirklichungen sich selber zurückgegeben wird: in dem Symbol des zweidimensionalen Nicht-Euldidisehen Kristalls wird das Urbild der Riemannschen Flächen selbst, (soweit dies möglich ist) rein und befreit von allen Verdunklungen und Zufälligkeiten, erschau- bar. Es war darum klar, daß die entscheidenden Resultate der Unifonni- sierungstheorie mit in dieses Buch hineingehörten. Bei der Herstellung des Manuskripts ist mir eine für das hiesige mathematische Lesezimmer von Herrn Frankfurther angefertigte Ausar- beitung meiner Vorlesung von großem Nutzen gewesen; für seine sorg- faltige und hingebende Arbeit möchte ich auch an dieser Stelle Herrn Frankfurther meinen aufrichtigsten Dank aussprechen. Jene Vorlesung enthielt außer dem hier Reproduzierten noch einen Abriß der Theorie der elliptischen Funktionen, verbreitete sich mit größerer Vollständigkeit über die algebraischen Funktionen und brachte die Riemann-Weierstraß- sche Lösung des Jacobischen Umkehrproblems mit Hilfe der -O'-Reihen. Diese Dinge habe ich jetzt, da ihnen für die Idee der Riemannschen Fläche kaum eine grundsätzliche Wichtigkeit zukommt, bei Seite gelassen. Nicht ganz leichten Herzens habe ich ferner darauf verzichtet, von dem Riemann- schen funktionentheoretischen Standpunkt aus die Brücke zu der kurven- theoretischen Auffassung von Clebsch, Brill und Noether hinüber zu schlagen; aber es ist, namentlich durch die Zitate, dafür gesorgt, dem Leser nach verschiedenen Richtungen hin den Zugang zu derjenigen Lite- ratur zu öffnen, in welcher er hierüber und über manche andere Weiter- bildungen der Riemannschen Theorie Auskunft findet. Die Zitate ent- halten zugleich, freilich unvollständig und in schwachen Umrissen, eine Geschichte der leitenden Ideen, welche diesen wichtigsten Teil der Funk- tionentheorie beherrschen. Man wird vielleicht finden, daß ich mit der Neuprägung von Worten